二、(本题满分14分)设f(x)在[01]上可导，f(0)=0，且当xe(01)，0＜f(x)＜1。

试证明:当a(01)，(5°/(x)dr)＞['(x)d

我陷入思考。

表情有些凝重的思考起了这个问题。

草稿纸写满了，我再次拿出了张草稿纸，开始在纸上计算了起来。

证明:设F(x)=(5f(x)de'-5(x)dx，则F(0)=0，我只需证明F(x)＞0即可。F'(x)=2f(x)](x)dx-/(x)=f(x)[25。

/(x)dx-f'(x)]，因为0＜f'(x)＜1,

所以f(x)单调递增，又f(0)=0，所以f(x)＞0。

令g(x)=2∫f(x)dx-f(x)，

则g'(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)[1-f'(x)]＞0，因此g(x)单调递增，

又因为g(0)=0，所以g(x)＞0，因此F(x)＞0，F(x)单调递增，因此F(a)＞F(0)，

即(/(x)de)＞'(x)dx.

很快，我做题做的一切如同行云流水，完全没有半点滞涩，没有半点苦恼。

四、(满分14分)设函数f(x)在闭区间[01]上具有连续导数，f(0)=0f(1)=1。证明:

lim(1.s(x)--(？）

证明:将区间[0,1]n等分，设分点x=-，则Δx=一，且

limn(1.cx--(司))-!(/(xt-2/(r,)ar)=im(21-1/()-/0x)=(.()-12).(x-x))

=lim”之/'(n.)]”(x-x)dr，n. 介于点与x,之间

-lim”(zro)(三(一门)因为x一一一，所以有下式:

-.(2)(s-.0) -1()一一-

经过三十分钟的鏖战，我终于成功的做题做到了最后的数学压轴题。

六、(本题14分)设f(x)在(一∞，+0)可导，且f(x)=f(x+2)=f(x+√3)用Fourier级

数理论证明f(x)为常数。

证明:由f(x)=f(x+2)知f(x)为以2为周期的周期函数，其Fourier系数分别为:

a_=∫f(x)cosnxxdx，b_=f(x)sinnxxdx,

由f(x)=f(x+√5)知:

a=∫f(x+√5)cosnnxdx=∫f(1)cosn(t5)di=∫f(1)(cosnxtcos√3nx +sinnxt sin √3nx)d= cos√3nr](1)cosnxtdt+sin√3nx(1)sinnxidi

因为，f(t+2)cosnm(t+2)=f(t)cosnxt，f(t+2)sinnm(t+2)=f(t)sinnt ,所以有:a?=cos√3nn]f(1)cosnnidt+sin√3nf(t)sin nxtdt

所以，an=acos√3nπ+b，sin√3nπ，同理可得b?=bcos√3nπ-asin√3nπ,

联立∫a? = a? cos√3nπ +b?sin√3nπ b?=b cos √3nπ-a_sin√3nπ，得a?=b?=0,(n=1,2,…)，而f(x) 可导,

其Fourier 级数处处收敛于f(x)，所以f(x)=a+∑(a,cosnx+b, sinnx) =a)，其中 a, =]'(x)dx 为常数。

没一会，我就把卷子做完了，想到我的一个个同学们，

估计现在做题做的双手发软，头脑发懵，

被虐的一副开始怀疑人生的样子。

我露出了核善的笑容。